Deformaciones de estructuras complejas
Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordena...
| Autor Principal: | Villareal Montenegro, Yuliana |
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| Formato: | Tesis de Maestría |
| Idioma: | Español |
| Publicado: |
Pontificia Universidad Católica del Perú
2013
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| Materias: | |
| Acceso en línea: |
http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/handle/123456789/4801 |
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| Sumario: |
Resumen
Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas.
Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia
diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo
de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz
de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se
le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir
las variaciones de primer orden de la estructura compleja.
En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades
complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales
_ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro
lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C
es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que
dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M?
Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si
θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales.
Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales,
entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados
Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza
la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_).
Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser
el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟)
con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas
para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones
son iguales y diferentes. |
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